计算机辅助设计与图形学学报球面铣刀修磨几何模型研究刘世霞唐余勇孙家广（清华大学计算机科学与技术系北京100084）（哈尔滨工业大学数学系哈尔滨150001）充分利用现有的磨制机构，提出了斜等距曲面的概念及相应公式，介绍了它在球面铣刀修磨模型中的应用，并给出与制造相关的几何模型。最后用实例验证了模型的可行性与可靠性。该模型为实现复杂刀具的CAD /CAM提供了方法模型。
中图法分类号TP391. 72原稿收到日期： 19985修改稿收到日期： 19990301.刘世霞，女， 1974年生，博士研究生，主要研究方向为1引言球面铣刀是铣制复杂曲面的重要工具泛应用于航天、汽车制造及铸造塑料成型等行业。随着数控技术的普及，这种刀具的需求量与日俱增。目前有关球面铣刀的研究集中在切削平稳性、使用寿命及如何改善容屑空间等问题上。文献[3]中利用空间啮合几何学原理建立了磨削形刃球面铣刀的数学模型，并给出了刀刃曲线和前角的计算解析表达式。文献[4 ]中给出球面铣刀的刃口成型原理，并推导出相应前刀面的制造模型。文献[5 ]中进一步研究了后刀面制造模型，但这些方法研究的毕竟是单一规格球面铣刀的制造模型，对邻近规格球面铣刀的修磨制造显得十分乏力，有关这方面的研究文献几乎是空白。而球面铣刀的修磨制造的研究对于用钝刀具的再利用有着十分重要的作用，本文将在这方面做深入细致的研究工作。
本文探讨了球面铣刀的前刀面、后刀面的磨制专用机构及相关模型，并研究了如何减少砂轮磨损对球面铣刀质量的影响。在此基础上，我们着重研究了运用同一机构磨制邻近规格的不同球面铣刀的可行性问题。
2球面铣刀刃口曲线的求解模型球面铣刀的刃口曲线是一条球面曲线，它是负前角为V的前刀面和后角为U的后刀面的交线。在磨制过程中，锥面砂轮以角速度k绕定轴旋转，同时球面铣刀以角速度k绕其轴线运动，这一对运动形成了球面铣刀的前刀面。为使后刀面与前刀面相交于规定的球面上，需要迫使磨制后刀面的砂轮沿前刀面与规定球面的交线运动，这样便可得到球面铣刀的制造模型。为了排屑方便，刃口曲线应当具有较理想的S形，这需要对相关参数进行优化选取。
另外，刃口的设计应保证铣刀具有利于铣削的前角V和不与工件粘靠的U角。
设铣刀半径为R，即刃口曲线所在球面半径为磨削前刀面的砂轮最大外半径为2，且取砂轮轮廓面为圆锥面，设其锥顶半角为V.图1给出砂轮与曲面的相对位置。坐标系e= [o x ， y，z ]和e ]分别为球面铣刀和砂轮面的局部坐标系，轴依次为球面铣刀和砂轮的轴线，原点o为球面铣刀的球心。设与z轴垂直的、砂轮绕其旋转的定轴为轴和轴的交点为轴平行于轴依右手坐标系原则确定。坐标系e和的空间相对位置如图2所示。取砂轮大端半径为2，锥顶半角为V，大端到的距离为设两轴的夹角为h，则从坐标系e到e的坐标变换为如图3所示，在坐标系e下，砂轮轮廓面的方程为其中，V为锥顶半角，u ， v是锥面砂轮的曲面参数， u等于砂轮面上的P点到砂轮轴的垂直距离， v是矢量在平面上的投影与轴的夹角。
砂轮轮廓面绕y轴逆时针以k角速度旋转t时间后在坐标系e下的方程为将式（ 3）变换到坐标系e下，再令其绕z轴以角速度顺时针旋转，相应于t时间就有计算机辅助设计与图形学学报前刀面方程就是式（ 4）中t连续变化时的曲面族的包络方程：对式（ 4）的曲面向量求偏导，将其代入式（ 5）中得由于刃口曲线既在前刀面上，又在以o为球心， R为半径的球面上，所以它满足球面方程：即满足其中由式（ 8）可得 B是非工程解，所以式（ 8）中的u应取为对于一给定的t值，由式（ 6） ， （ 9）可以求出u， v，再将的值代入式（ 4） ，便可求出刃口上一点的坐标。
3后刀面的磨制专用机构及相应数学模型在制造过程中，磨削球面铣刀前刀面的砂轮与铣刀的相对运动产生了砂轮轮廓面族，求其包络得到球面铣刀的前刀面。前刀面与球面的交线为刃口曲线，然后根据刃口曲线设计后刀面的成型靠模，运用优化方法可获得对应的仿真数学模型和具体制造中的最优设计。为了讨论和计算方便，在后刀面磨制机构上选择坐标系e （如图4所示） ，其中y轴与y轴重合， x分别与x ，z平行，若记点在坐标系e下的坐标为（ 0， y面求出的刃口曲线在坐标系e的方程为是半角为d的锥面砂轮顶点， P为刃口曲线Γ上一点，过点P且与砂轮母线垂直的直线与砂轮轴交于P为与P距离为L的靠模曲线上的对应点。 P和P的轨迹分别记为Γ和为Γ距离为L的空间向心（o）内等距线。求出Γs，就可求得相应的靠模曲线Γ上式即为P的轨迹Γs，那么P的轨迹，即靠模曲线Γ的方程为4斜等距曲面与相应公式由上面的讨论可知，砂轮轴在磨制铣刀的运动中形成一个直纹面∑，球面铣刀的后刀面为这样一个直纹面：设曲线Γ是靠模曲线在直纹面上的向心（o）内等距线（o点的位置参见图4） .Γ上每一点到对应的砂轮表面上的点磨出的后刀面上的曲线上的相应点距离相等。这样，不同的等距线到对应后刀面上曲线的距离不同，但呈现出线性的变化规律。为了建立球面铣刀后刀面的几何求解模型，我们引进斜等距曲面的概念。
如图5所示，设为已知直纹面，d 3期刘世霞等：球面铣刀修磨几何模型研究是上与所有直母线均相交的一定曲线方程。曲在上沿直母线方向距离为h的平移曲线，对于曲线d= d（u ）上的每一点在其法线方向上取点等于定长变化时d亦做相应的变化，且满足线性关系，则称P形成的曲面为直纹面的斜等距曲面。
有了斜等距曲面的概念之后，我们就可以建立磨制球面铣刀后刀面所用的几何模型。下面，我们来推导一下相应的公式，已知直纹面上定曲线的方程为d（u） ，则该直纹面可以表示为其中τ（u）为直母线方向的单位向量。根据定义， PP这一法向距离d满足式中T为的直母线与上相对应的直母线的夹角。 d为h= 0时的d值，即P点在定曲线d上时，P与上对应点之间的距离。曲面（ 13）的任一点法线方向上的单位矢量为那么直纹面的斜等距曲面的方程为这一定义和公式适用于锥面工具磨制任何产品的相关模型。
5球面铣刀修磨几何模型本节主要考虑用磨制半径为R的球面铣刀的机构去磨制R = RΔR这种新规格的球面铣刀。
在磨制新规格的球面铣刀的后刀面时，由于铣刀半径R尺寸发生变化，磨制R规格铣刀的距离L（参见图6）应当为在新规格球面铣刀的坐标系e变为将原有的靠模曲线变换到坐标系e中，相应P的轨迹为距为的砂轮轴上点的轨迹为靠模曲线的向心等距线，其方程为当h变化时，式（ 20）代表了砂轮轴绕o点转动、滑动，并沿P处靠模曲线运动的直纹面方程，规格为的球面铣刀的后刀面为其斜等距曲面。曲面（ 20）上任一点的法向单位矢量为设对应于的砂轮半径为那么后刀面的方程为将新规格球面铣刀的半径R带入前刀面模型中，可以求出前刀面由本节模型又可以求出后刀面。前刀面和后刀面的交线为刃口曲线。设刃口曲线为，若制造过程中允许的公差为W，那么刃口曲线应满足通过上述模型，我们可以利用磨制R规格球面铣刀的机构磨制出合格的邻近规格的球面铣刀。
6算例我们用磨制R= 12. 5规格的机构去磨制R计算机辅助设计与图形学学报经过计算，对于任何R的球面铣刀的刃口曲线与理想刃口曲线的偏差均在给定的公差内。表1给出了该机构的靠模曲线和磨制= 12. 2规格所得的刃口曲线的坐标。
靠模曲线刃口曲线7结论本文根据刃口曲线的方程推导了球面铣刀前刀面和后刀面的几何模型。在此基础上，本文提出了斜等距曲面的概念，并推导出了相应的公式。通过利用这一概念及公式探讨了邻近规格球面铣刀修磨几何求解模型，提高了刀具的再利用率，为实现复杂刀具的提供了概念性模型。
（萝伯勋。磨削S形刃球形立铣刀前刀面之数学模型。应用数（唐余勇，杨革。关于球面铣刀设计制造中仿真模型的研究。
（时培林，王伟，唐余勇。球面铣刀制造中的数学模型。机械工3期刘世霞等：球面铣刀修磨几何模型研究